1
夫明時治曆，自黃帝、堯、舜與三代之盛王，莫不重之，其文備見於傳記矣。 雖去古既遠，其法不詳，然原其要，不過隨時考驗，以合於天而已。 漢劉歆作《三統曆》，始立積年日法，以為推步之準。 後世因之，歷唐而宋，其更元改法者，凡數十家，豈故相為乖異哉？ 蓋天有不齊之運，而曆為一定之法，所以既久而不能不差，既差則不可不改也。
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2
元初承用金《大明曆》，庚辰歲，太祖西征，五月望，月蝕不效； 二月、五月朔，微月見於西南。 中書令耶律楚材以《大明曆》後天，乃損節氣之分，減周天之秒，去交終之率，治月轉之余，課兩曜之後先，調五行之出沒，以正《大明曆》之失。 且以中元庚午歲，國兵南伐，而天下略定，推上元庚午歲天正十一月壬戌朔，子正冬至，日月合璧，五星聯珠，同會虛宿六度，以應太祖受命之符。 又以西域、中原地裏殊遠，創為裏差以增損之，雖東西萬里，不復差忒。 遂題其名曰《西征庚午元曆》，表上之，然不果頒用。
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3
至元四年，西域劄馬魯丁撰進《萬年曆》，世祖稍頒行之。 十三年，平宋，遂詔前中書左丞許衡、太子贊善王恂、都水少監郭守敬改治新曆。 衡等以為金雖改曆，止以宋《紀元曆》微加增益，實未嘗測驗於天，乃與南北日官陳鼎臣、鄧元麟、毛鵬翼、劉巨淵、王素、嶽鉉、高敬等參考累代曆法，復測候日月星辰消息運行之變，參別同異，酌取中數，以為曆本。 十七年冬至，曆成，詔賜名曰《授時曆》。 十八年，頒行天下。 二十年，詔太子諭德李謙為《曆議》，發明新曆順天求合之微，考證前代人為附會之失，誠可以貽之永久，自古及今，其推驗之精，蓋未有出於此者也。 今衡、恂、守敬等所撰《曆經》及謙《曆議》故存，皆可考據，是用具著於篇。 惟《萬年曆》不復傳，而《庚午元曆》雖未嘗頒用，其為書猶在，因附著於後，使來者有考焉。 作《曆志》。
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4
授時曆議上驗氣
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5
天道運行，如環無端，治曆者必就陰消陽息之際，以為立法之始。 陰陽消息之機，何從而見之？ 惟候其日晷進退，則其機將無所遁。 候之之法，不過植表測景，以究其氣至之始。 智作能述，前代諸人為法略備，茍能精思密索，心與理會，則前人述作之外，未必無所增益。
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6
舊法擇地平衍，設水準繩墨，植表其中，以度其中晷。 然表短促，尺寸之下所為分秒太、半、少之數，未易分別。 表長，則分寸稍長，所不便者，景虛而淡，難得實景。 前人欲就虛景之中考求真實，或設望筒，或置小表，或以木為規，皆取表端日光下徹圭面。 今以銅為表，高三十六尺，端挾以二龍，舉一橫梁，下至圭面，共四十尺，是為八尺之表五。 圭表刻為尺寸，舊寸一，今申而為五，厘毫差易分。 別創為景符，以取實景。 其制以銅葉，博二寸，長加博之二，中穿一竅，若針芥然，以方跂為趺，一端設為機軸，令可開闔，榰其一端，使其勢斜倚，北高南下，往來遷就於虛景之中，竅達日光，僅如米許，隱然見橫梁於其中。 舊法以表端測晷，所得者日體上邊之景，今以橫梁取之，實得中景，不容有毫末之差。
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7
地中八尺表景，冬至長一丈三尺有奇，夏至尺有五寸。 今京師長表，冬至之景七丈九尺八寸有奇，在八尺表則一丈五尺九寸六分； 夏至之景一丈一尺七寸有奇，在八尺表則二尺三寸四分。 雖晷景長短所在不同，而其景長為冬至，景短為夏至，則一也。 惟是氣至時刻考求不易，蓋至日氣正，則一歲氣節從而正矣。 劉宋祖沖之嘗取至前後二十三四日間晷景，折取其中，定為冬至，且以日差比課，推定時刻。 宋皇祐間，周琮則取立冬、立春二日之景，以為去至既遠，日差頗多，易為推考。 《紀元》以後諸曆，為法加詳，大抵不出沖之之法。 新曆積日累月，實測中晷，自遠日以及近日，取前後日率相埒者，參考同異，初非偏取一二日之景，以取數多者為定，實減《大明曆》一十九刻二十分。 仍以累歲實測中晷日差分寸，定擬二至時刻於後。
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8
推至元十四年丁丑歲冬至
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9
其年十一月十四日己亥，景長七丈九尺四寸八分五厘五毫； 至二十一日丙午，景長七丈九尺五寸四分一厘； 二十二日丁未，景長七丈九尺四寸五分五厘。 以己亥、丁未二日之景相校，余三分五毫為晷差，進二位； 以丙午、丁未二日之景相校，余八分六厘為法； 除之，得三十五刻； 用減相距日八百刻，余七百六十五刻； 折取其中，加半日刻，共為四百三十二刻半； 百約為日，得四日； 余以十二乘之，百約為時，得三時，滿五十又作一時，共得四時； 余以十二收之，得三刻； 命初起距日己亥算外，得癸卯日辰初三刻為丁丑歲冬至。 此取至前後四日景。
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十一月初九日甲午，景七丈八尺六寸三分五厘五毫； 至二十六日辛亥，景七丈八尺七寸九分三厘五毫； 二十七日壬子，景七丈八尺五寸五分。 以甲午、壬子景相減，復以辛亥、壬子景相減，準前法求之，亦得癸卯日辰初三刻。 至二十八日癸丑，景七丈八尺三寸四厘五毫，用壬子、癸丑二日之景與甲午景，準前法求之，亦合。 此取至前後八九日景。
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11
十一月丙戌朔，景七丈五尺九寸八分六厘五毫； 二日丁亥，景七丈六尺三寸七分七厘； 至十二月初六日庚申，景七丈五尺八寸五分一厘。 準前法求之，亦在辰初三刻。 此取至前後一十七日景。
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十月二十一日丙子，景七丈九寸七分一厘； 至十二月十六日庚午，景七丈七寸六分； 十七日辛未，景七丈一寸五分六厘五毫。 準前法求之，亦得辰初三刻。 此取至前後二十七日景。
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六月初五日癸亥，景一丈三尺八分； 距十五年五月癸未朔，景一丈三尺三分八厘五毫； 初二日甲申，景一丈二尺九寸二分五毫。 準前法求之，亦合。 此取至前後一百六十日景。
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推十五年戊寅歲夏至
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15
五月十九日辛丑，景一丈一尺七寸七分七厘五毫； 距二十八日庚戌，景一丈一尺七寸八分； 二十九日辛亥，景一丈一尺八寸五厘五毫。 用辛丑、庚戌二日之景相減，余二厘五毫，進二位為實； 復用庚戌、辛亥景相減，余二分五厘五毫為法； 除之，得九刻，用減相距日九百刻，余八百九十一刻； 半之，加半日刻，百約，得四日； 余以十二乘之，百約，得十一時； 余以十二收為刻，得三刻； 命初起距日辛丑算外，得乙巳日亥正三刻夏至。 此取至前後四日景。
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十四年十二月十五日己巳，景七丈一尺三寸四分三厘； 距十五年十一月初二日辛巳，景七丈七寸五分九厘五毫； 初三日壬午，景七丈一尺四寸六厘。 用己巳、壬午景相減，以辛巳、壬午景相減除之，亦合。 此用至前後一百五十六日景。
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十四年十二月十二日丙寅，景七丈二尺九寸七分二厘五毫； 十三日丁卯，景七丈二尺四寸五分四厘五毫； 十四日戊辰，景七丈一尺九寸九厘； 距十五年十一月初四日癸未，景七丈一尺九寸五分七厘五毫； 初五日甲申，景七丈二尺五寸五厘； 初六日乙酉，景七丈三尺三分三厘五毫。 前後互取，所得時刻皆合。 此取至前後一百五十八九日景。
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十四年十二月初七日辛酉，景七丈五尺四寸一分七厘； 初八日壬戌，景七丈四尺九寸五分九厘五毫； 初九日癸亥，景七丈四尺四寸八分六厘； 距十五年十一月初九日戊子，景七丈四尺五寸二分五毫； 初十日己丑，景七丈五尺三厘五毫； 十一日庚寅，景七丈五尺四寸四分九厘五毫。 以壬戌、己丑景相減為實，以辛酉、壬戌景相減為法，除之； 或以壬戌、癸亥景相減，或以戊子、己丑景相減，若己丑、庚寅景相減，推前法求之，皆合。 此取至前後一百六十三四日景。
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推十五年戊寅歲冬至
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20
其年十一月十九日戊戌，景七丈八尺三寸一分八厘五毫； 距閏十一月初九日戊午，景七丈八尺三寸六分三厘五毫； 初十日己未，景七丈八尺八分二厘五毫。 用戊戌、戊午二日景相減，余四分五厘為晷差，進二位，以戊午、己未景相減，余二寸八分一厘為法，除之，得一十六刻，加相距日二千刻，半之，加半日刻，百約，得十日； 余以十二乘之，百約為時，滿五十又進一時，共得七時； 余以十二收為刻； 命初起距日己亥算外，得戊申日未初三刻為戊寅歲冬至。 此取至前後十日景。
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十一月十二日辛卯，景七丈五尺八寸八分一厘五毫； 十三日壬辰，景七丈六尺三寸一厘五毫； 閏十一月十五日甲子，景七丈六尺三寸六分六厘五毫； 十六日乙丑，景七丈五尺九寸五分三厘； 十七日丙寅，景七丈五尺五寸四厘五毫。 用壬辰、甲子景相減為實，以辛卯、壬辰景相減為法，除之，亦得戊申日未初三刻。 或用甲子、乙丑景相減，推之，亦合。 若用辛卯、乙丑景相減為實，用乙丑、丙寅景相減，除之，並同。 此取至前後十六七日景。
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十一月初八日丁亥，景七丈四尺三分七厘五毫； 閏十一月二十日己巳，景七丈四尺一寸二分； 二十一日庚午，景七丈三尺六寸一分四厘五毫。 用丁亥、己巳景相減為實，以己巳、庚午景相減，除之，亦同。 此取至前後二十一日景。
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六月二十六日戊寅，景一丈四尺四寸五分二厘五毫； 二十七日己卯，景一丈四尺六寸三分八厘； 至十六年四月二日戊寅，景一丈四尺四寸八分一厘。 以二戊寅景相減，用後戊寅、己卯景相減，推之，亦同。 此取至前後一百五十日景。
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五月二十八日庚戌，景一丈一尺七寸八分； 至十六年四月二十九日乙巳，景一丈一尺八寸六分三厘； 三十日丙午，景一丈一尺七寸八分三厘。 用庚戌、丙午景相減，以乙巳、丙午景相減，推之，亦同。 此取至前後百七十八日景。
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推十六年己卯歲夏至
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四月十九日乙未，景一丈二尺三寸六分九厘五毫； 二十日丙申，景一丈二尺二寸九分三厘五毫； 至五月十九日乙丑，景一丈二尺二寸六分四厘。 以丙申、乙丑景相減，余二分九厘五毫為晷差，進二位； 以乙未、丙申景相減，得七分六厘為法； 除之，得三十八刻； 加相距日二千九百刻，半之，加半日刻，百約，得十五日； 余以十二乘之，百約，得二時； 余以十二收之，得二刻； 命初起距日丙申算外，得辛亥日寅正二刻為夏至。 此取至前後十五日景。
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三月二十一日戊辰，景一丈六尺三寸九分五毫； 六月十六日壬辰，景一丈六尺九分九厘五毫； 十七日癸巳，景一丈六尺三寸一分一厘。 用戊辰、癸巳景相減，以壬辰、癸巳景相減，準前法推之，亦合。 此取至前後四十二日景。
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三月初二日己酉，景二丈一尺三寸五厘； 至七月初七日壬子，景二丈一尺一寸九分五厘五毫； 初八日癸丑，景二丈一尺四寸八分六厘五毫。 用己酉、壬子景相減，以壬子、癸丑景相減，如前法推之，亦合。 此取至前後六十一二日景。
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三月戊申朔，景二丈一尺六寸一分一厘； 至七月初八日癸丑，景二丈一尺四寸八分六厘五毫； 初九日甲寅，景二丈一尺九寸一分五厘五毫。 用戊申、癸丑景相減，以癸丑、甲寅景相減，準前法推之，亦同。 此取至前後六十二三日景。
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二月十八日乙未，景二丈六尺三分四厘五毫； 至七月二十一日丙寅，景二丈五尺八寸九分九厘； 二十二日丁卯，景二丈六尺二寸五分九厘。 用乙未、丙寅景相減，以丙寅、丁卯景相減，如前法推之，亦同。 此取至前後七十五六日景。
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二月三日庚辰，景三丈二尺一寸九分五厘五毫； 至八月初五日庚辰，景三丈一尺五寸九分六厘五毫； 初六日辛巳，景三丈二尺二分六厘五毫。 用前庚辰與辛巳景相減，以後庚辰、辛巳景相減，如前推之，亦同。 此取至前後九十日景。
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正月十九日丁卯，景三丈八尺五寸一厘五毫； 至八月十八日癸巳，景三丈七尺八寸二分三厘； 十九日甲午，景三丈八尺三寸一分五毫。 用丁卯、甲午景相減，以癸巳、甲午景相校，如前推之，亦同。 此取至前後一百三四日景。
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推十六年己卯歲冬至
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34
十月二十四日戊戌，景七丈六尺七寸四分； 至十一月二十五日己巳，景七丈六尺五寸八分； 二十六日庚午，景七丈六尺一寸四分二厘五毫。 用戊戌、己巳景相減，余一寸六分為晷差，進二位； 以己巳、庚午景相減，余四寸三分七厘五毫為法； 除之，得三十六刻； 以相減距日三千一百刻，余三千六十四刻； 半之，加五十刻，百約，得一十五日； 余以十二乘之，百約為時，滿五十，又進一時，共得十時； 余以十二收之為刻，得二刻； 命初起距日戊戌算外，得癸丑日戌初二刻冬至。 此取至前後十五六日景。
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十月十八日壬辰，景七丈四尺五分二厘五毫； 十九日癸巳，景七丈四尺五寸四分五厘； 二十日甲午，景七丈五尺二分五厘； 至十一月二十八日壬申，景七丈五尺三寸二分； 二十九日癸酉，景七丈四尺八寸五分二厘五毫； 十二月甲戌朔，景七丈四尺三寸六分五厘； 初二日乙亥，景七丈三尺八寸七分一厘五毫。 用甲午、癸酉景相減，癸巳、甲午景相減，如前推之，亦同。 若以壬申、癸酉景相減為法，推之亦同。 此取至前後十八九日景。
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若用癸巳與甲戌景相減，以壬辰、癸巳景相減，推之，或癸巳、甲午景相減，推之，或用甲戌、癸酉景相減，推之，或甲戌、乙亥景相減，推之，或以壬辰、乙亥景相減，用壬辰、癸巳景相減，推之並同。 此取至前後二十日景。
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十月十六日庚寅，景七丈三尺一分五厘； 十二月初三日丙子，景七丈三尺三寸二分； 初四日丁丑，景七丈二尺八寸四分二厘五毫。 用庚寅、丁丑景相減，以丙子、丁丑景相減，推之亦同。 此取至前後二十三日景。
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38
十月十四日戊子，景七丈一尺九寸二分二厘五毫； 十五日己丑，景七丈二尺四寸六分九厘； 十二月初五日戊寅，景七丈二尺二寸七分二厘五毫。 用己丑、戊寅景相減，以戊子、己丑景相減，推之，或用己丑、庚寅相減，推之亦同。 此取至前後二十四日景。
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十月初七日辛巳，景六丈七尺七寸四分五厘； 初八日壬午，景六丈八尺三寸七分二厘五毫； 初九日癸未，景六丈八尺九寸七分七厘五毫； 十二月十二日乙酉，景六丈八尺一寸四分五厘。 用壬午、乙酉景相減，以辛巳、壬午相減，推之，壬午、癸未景相減，推之亦同。 此取至前後三十一二日景。
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40
十月乙亥朔，景六丈三尺八寸七分； 十二月十八日辛卯，景六丈四尺二寸九分七厘五毫； 十九日壬辰，景六丈三尺六寸二分五厘。 用乙亥、壬辰景相減，以辛卯、壬辰景相減，推之亦同。 此取至前後三十八日景。
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41
九月二十二日丙寅，景五丈七尺八寸二分五厘； 十二月二十八日辛丑，景五丈七尺五寸八分； 二十九日壬寅，景五丈六尺九寸一分五厘。 用丙寅、辛丑景相減，以辛丑、壬寅景相減，推之亦同。 此取至前後四十七八日景。
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九月二十日甲子，景五丈六尺四寸九分二厘五毫； 至十二月二十九日壬寅，景五丈六尺九寸一分五厘； 至十七年正月癸卯朔，景五丈六尺二寸五分。 用甲子、癸卯相減，壬寅、癸卯景相減，推之亦同。 此取至前後五十日景。
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右以累年推測到冬夏二至時刻為準，定擬至元十八年辛巳歲前冬至，當在己未日夜半後六刻，即丑初一刻。 歲餘歲差
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周天之度，周歲之日，皆三百六十有五。 全策之外，又有奇分，大率皆四分之一。 自今歲冬至距來歲冬至，曆三百六十五日，而日行一周，凡四周，曆千四百六十，則餘一日，析而四之，則四分之一也。 然天之分常有餘，歲之分常不足，其數有不能齊者，惟其所差至微，前人初未覺知。 迨漢末劉洪，始覺冬至後天，謂歲周余分太強，乃作《乾象曆》，減歲餘分二千五百為二千四百六十二。 至晉虞喜，宋何承天、祖沖之，謂歲當有差，因立歲差之法。 其法損歲餘，益天周，使歲餘浸弱，天周浸強，強弱相減，因得日躔歲退之差。 歲餘、天周，二者實相為用，歲差由斯而立，日躔由斯而得，一或損益失當，詎能與天葉哉？
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今自劉宋大明壬寅以來，凡測景驗氣得冬至時刻真數者有六，取相距積日時刻，以相距之年除之，各得其時所用歲餘。 復自大明壬寅距至元戊寅積日時刻，以相距之年除之，得每歲三百六十五日二十四分二十五秒，比《大明曆》減去一十一秒，定為方今所用歲餘。 余七十五秒，用益所謂四分之一，共為三百六十五度二十五分七十五秒，定為天周。 余分強弱相減，余一分五十秒，用除全度，得六十六年有奇，日卻一度，以六十六年除全度，適得一分五十秒，定為歲差。
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復以《堯典》中星考之，其時冬至日在女、虛之交。 及考之前史，漢元和二年，冬至日在鬥二十一度； 晉太元九年，退在鬥十七度； 宋元嘉十年，在鬥十四度末； 梁大同十年，在鬥十二度； 隋開皇十八年，猶在鬥十二度； 唐開元十二年，在鬥九度半； 今退在箕十度。 取其距今之年、距今之度較之，多者七十餘年，少者不下五十年，輒差一度。 宋慶元間，改《統天曆》，取大衍歲差率八十二年及開元所距之差五十五年，折取其中，得六十七年，為日卻行一度之差。 施之今日，質諸天道，實為密近。
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然古今曆法，合於今必不能通於古，密於古必不能驗於今。 今《授時曆》，以之考古，則增歲餘而損歲差； 以之推來，則增歲差而損歲餘； 上推春秋以來冬至，往往皆合； 下求方來，可以永久而無弊； 非止密於今日而已。 仍以《大衍》等六曆，考驗春秋以來冬至疏密，凡四十九事，具列如後。
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○冬至刻
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《大衍》《宣明》《紀元》《統天》《大明》《授時》獻公十五年戊寅歲，正月甲寅朔旦冬至。
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丙辰 〈 （22）〉 乙卯 〈 （88）〉 丁巳 〈 （33）〉 乙卯 （2） 丁巳 〈 （35）〉 甲寅 〈 （99）〉 僖公五年丙寅歲，正月辛亥朔旦冬至。
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辛亥 〈 （94）〉 辛亥 〈 （66）〉 壬子 〈 （74）〉 辛亥 〈 （27）〉 壬子 〈 （89）〉 辛亥 〈 （14）〉 昭公二十年己卯歲，正月己丑朔旦冬至。
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己丑 〈 （45）〉 己丑 〈 （20）〉 庚寅 〈 （25）〉 戊子 〈 （92）〉 庚寅 〈 （29）〉 戊子 〈 （83）〉 宋元嘉十二年乙亥歲，十一月十五日戊辰景長。
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戊辰 〈 （35）〉 戊辰 〈 （32）〉 戊辰 〈 （39）〉 戊辰 〈 （51）〉 戊辰 〈 （41）〉 戊辰 〈 （47）〉 元嘉十三年丙子歲，十一月二十六日甲戌景長。
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癸酉 〈 （59）〉 癸酉 〈 （57）〉 癸酉 〈 （63）〉 癸酉 〈 （75）〉 癸酉 〈 （65）〉 癸酉 〈 （71）〉 元嘉十五年戊寅歲，十一月十八日甲申景長。
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甲申 （8） 甲申 （6） 甲申 〈 （12）〉 甲申 〈 （24）〉 甲申 〈 （14）〉 甲申 〈 （19）〉 元嘉十六年己卯歲，十月二十九日己丑景長。
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己丑 〈 （33）〉 己丑 （3） 己丑 〈 （37）〉 己丑 〈 （48）〉 己丑 〈 （37）〉 己丑 〈 （44）〉 元嘉十七年庚辰歲，十一月初十日甲午景長。
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甲午 〈 （57）〉 甲午 〈 （55）〉 甲午 〈 （61）〉 甲午 〈 （72）〉 甲午 〈 （63）〉 甲午 〈 （68）〉 元嘉十八年辛巳歲，十一月二十一日己亥景長。
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己亥 〈 （82）〉 己亥 〈 （79）〉 己亥 〈 （85）〉 己亥 〈 （97）〉 己亥 〈 （87）〉 己亥 〈 （93）〉 元嘉十九年壬午歲，十一月初三日乙巳景長。
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乙巳 （6） 乙巳 （4） 乙巳 〈 （10）〉 乙巳 〈 （21）〉 乙巳 〈 （11）〉 乙巳 〈 （17）〉 大明五年辛丑歲，十一月乙酉冬至。
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甲申 〈 （70）〉 甲申 〈 （68）〉 甲申 〈 （73）〉 甲申 〈 （89）〉 甲申 〈 （74）〉 甲申 〈 （79）〉 陳天嘉六年乙酉歲，十一月庚寅景長。
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庚寅 〈 （12）〉 庚寅 〈 （13）〉 庚寅 （5） 庚寅 〈 （24）〉 庚寅 〈 （80）〉 庚寅 〈 （17）〉 光大二年戊子歲，十一月乙巳景長。
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乙巳 （8） 乙巳 〈 （86）〉 乙巳 〈 （79）〉 乙巳 〈 （97）〉 乙巳 〈 （81）〉 乙巳 〈 （90）〉 太建四年壬辰歲，十一月二十九日丁卯景長。
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丙寅 〈 （83）〉 丙寅 〈 （78）〉 丙寅 〈 （77）〉 丙寅 〈 （95）〉 丙寅 〈 （98）〉 丙寅 〈 （87）〉 太建六年甲午歲，十一月二十日丁丑景長。
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丁丑 〈 （32）〉 丁丑 〈 （33）〉 丁丑 〈 （25）〉 丁丑 〈 （43）〉 丁丑 〈 （27）〉 丁丑 〈 （36）〉 太建九年丁酉歲，十一月二十三日壬辰景長。
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癸巳 （4） 癸巳 （6） 壬辰 〈 （99）〉 癸巳 〈 （16）〉 癸巳 （空） 癸巳 （8） 太建十年戊戌歲，十一月五日戊戌景長。
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戊戌 〈 （30）〉 戊戌 〈 （30）〉 戊戌 〈 （23）〉 戊戌 〈 （40）〉 戊戌 〈 （24）〉 戊戌 〈 （33）〉 隋開皇四年甲辰歲，十一月十一日己巳景長。
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己巳 〈 （77）〉 己巳 〈 （78）〉 己巳 〈 （69）〉 己巳 〈 （86）〉 己巳 〈 （71）〉 己巳 〈 （86）〉 開皇五年乙巳歲，十一月二十二日乙亥景長。
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乙亥 （1） 乙亥 （2） 甲戌 〈 （92）〉 乙亥 〈 （11）〉 甲戌 〈 （55）〉 乙亥 〈 （10）〉 開皇六年丙午歲，十一月三日庚辰景長。
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庚辰 〈 （25）〉 庚辰 〈 （26）〉 庚辰 〈 （18）〉 庚辰 〈 （34）〉 庚辰 〈 （19）〉 庚辰 〈 （34）〉 開皇七年丁未歲，十一月十四日乙酉景長。
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乙酉 〈 （50）〉 乙酉 〈 （51）〉 乙酉 〈 （42）〉 乙酉 〈 （59）〉 乙酉 〈 （44）〉 乙酉 〈 （59）〉 開皇十一年辛亥歲，十一月二十八日丙午景長。
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丙午 〈 （48）〉 丙午 〈 （49）〉 丙午 〈 （43）〉 丙午 〈 （57）〉 丙午 〈 （41）〉 丙午 〈 （56）〉 開皇十四年甲寅歲，十一月辛酉朔旦冬至。
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壬戌 〈 （21）〉 壬戌 〈 （22）〉 壬戌 〈 （13）〉 壬戌 〈 （30）〉 壬戌 〈 （14）〉 壬戌 〈 （29）〉 唐貞觀十八年甲辰歲，十一月乙酉景長。
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甲申 〈 （43）〉 甲申 〈 （45）〉 甲申 〈 （31）〉 甲申 〈 （50）〉 甲申 〈 （32）〉 甲申 〈 （44）〉 貞觀二十三年己酉歲，十一月辛亥景長。
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庚戌 〈 （65）〉 庚戌 〈 （68）〉 庚戌 〈 （53）〉 庚戌 〈 （72）〉 庚戌 〈 （54）〉 庚戌 〈 （66）〉 龍朔二年壬戌歲，十一月四日己未至戊午景長。
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戊午 〈 （83）〉 戊午 〈 （86）〉 戊午 〈 （69）〉 戊午 〈 （88）〉 戊午 〈 （71）〉 戊午 〈 （82）〉 儀鳳元年丙子歲，十一月壬申景長。
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壬申 〈 （25）〉 壬申 〈 （28）〉 壬申 〈 （10）〉 壬申 〈 （28）〉 壬申 〈 （12）〉 壬申 〈 （22）〉 永淳元年壬午歲，十一月癸卯景長。
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癸卯 〈 （72）〉 癸卯 〈 （75）〉 癸卯 〈 （57）〉 癸卯 〈 （76）〉 癸卯 〈 （58）〉 癸卯 〈 （68）〉 開元十年壬戌歲，十一月癸酉景長。
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癸酉 〈 （49）〉 癸酉 〈 （54）〉 癸酉 〈 （31）〉 癸酉 〈 （50）〉 癸酉 〈 （32）〉 癸酉 〈 （46）〉 開元十一年癸亥歲，十一月戊寅景長。
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戊寅 〈 （74）〉 戊寅 〈 （77）〉 戊寅 〈 （55）〉 戊寅 〈 （74）〉 戊寅 〈 （56）〉 戊寅 〈 （70）〉 開元十二年甲子歲，十一月癸未冬至。
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癸未 〈 （98）〉 甲申 （3） 癸未 〈 （80）〉 癸未 〈 （99）〉 癸未 〈 （81）〉 癸未 〈 （95）〉 宋景德四年丁未歲，十一月戊辰日南至。
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戊辰 〈 （15）〉 戊辰 〈 （26）〉 丁卯 〈 （74）〉 丁卯 〈 （82）〉 丁卯 〈 （74）〉 丁卯 〈 （80）〉 皇祐二年庚寅歲，十一月三十日癸丑景長。
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癸丑 〈 （65）〉 癸丑 〈 （79）〉 癸丑 〈 （22）〉 癸丑 〈 （25）〉 癸丑 〈 （22）〉 癸丑 〈 （23）〉 元豐六年癸亥歲，十一月丙午景長。
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丙午 〈 （73）〉 丙午 〈 （85）〉 丙午 〈 （26）〉 丙午 〈 （27）〉 丙午 〈 （26）〉 丙午 〈 （26）〉 元豐七年甲子歲，十一月辛亥景長。
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辛亥 〈 （97）〉 壬子 〈 （10）〉 辛亥 〈 （50）〉 辛亥 〈 （51）〉 辛亥 〈 （50）〉 辛亥 〈 （51）〉 元祐三年戊辰歲，十一月壬申景長。
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壬申 〈 （94）〉 癸酉 （8） 壬申 〈 （48）〉 壬申 〈 （48）〉 壬申 〈 （48）〉 壬申 〈 （48）〉 元祐四年己巳歲，十一月丁丑景長。
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戊寅 〈 （19）〉 戊寅 〈 （32）〉 丁丑 〈 （72）〉 丁丑 〈 （72）〉 丁丑 〈 （72）〉 丁丑 〈 （72）〉 元祐五年庚午歲，十一月壬午冬至。
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癸未 〈 （44）〉 癸未 〈 （56）〉 壬午 〈 （96）〉 壬午 〈 （97）〉 壬午 〈 （96）〉 壬午 〈 （96）〉 元祐七年壬申歲，十一月癸巳冬至。
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癸巳 〈 （92）〉 甲午 （5） 癸巳 〈 （45）〉 癸巳 〈 （45）〉 癸巳 〈 （45）〉 癸巳 〈 （45）〉 元符元年戊寅歲，十一月甲子冬至。
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乙丑 〈 （39）〉 乙丑 〈 （52）〉 甲子 〈 （91）〉 甲子 〈 （91）〉 甲子 〈 （91）〉 甲子 〈 （91）〉 崇寧三年甲申歲，十一月丙申冬至。
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丙申 〈 （86）〉 丙申 〈 （99）〉 丙申 〈 （37）〉 丙申 〈 （36）〉 丙申 〈 （37）〉 丙申 〈 （37）〉 紹熙二年辛亥歲，十一月壬申冬至。
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癸酉 〈 （12）〉 癸酉 〈 （27）〉 壬申 〈 （57）〉 壬申 〈 （47）〉 壬申 〈 （57）〉 壬申 〈 （46）〉 慶元三年丁巳歲，十一月癸卯日南至。
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甲辰 〈 （59）〉 甲辰 〈 （74）〉 甲辰 （3） 癸卯 〈 （92）〉 甲辰 （3） 癸卯 〈 （92）〉 嘉泰三年癸亥歲，十一月甲戌日南至。
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丙子 （5） 丙子 〈 （21）〉 乙亥 〈 （49）〉 乙亥 〈 （37）〉 乙亥 〈 （49）〉 乙亥 〈 （37）〉 嘉定五年壬申歲，十一月壬戌日南至。
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癸亥 〈 （25）〉 癸亥 〈 （41）〉 壬戌 〈 （69）〉 壬戌 〈 （56）〉 壬戌 〈 （68）〉 壬戌 〈 （56）〉 紹定三年庚寅歲，十一月丙申日南至。
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丁酉 〈 （65）〉 丁酉 〈 （83）〉 丁酉 （7） 丙申 〈 （63）〉 丁酉 （7） 丙申 〈 （92）〉 淳祐十年庚戌歲，十一月辛巳日南至。
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壬午 〈 （94）〉 壬午 〈 （71）〉 辛巳 〈 （96）〉 辛巳 〈 （77）〉 辛巳 〈 （94）〉 辛巳 〈 （78）〉 本朝至元十七年庚辰歲，十一月己未夜半後六刻冬至。
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己未 〈 （87）〉 庚申 （5） 己未 〈 （25）〉 己未 （4） 己未 〈 （24）〉 己未 （6）
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右自春秋獻公以來，凡二千一百六十餘年，用《大衍》、《宣明》、《紀元》、《統天》、《大明》、《授時》六曆推算冬至，凡四十九事。 《大衍曆》合者三十二，不合者十七； 《宣明曆》合者二十六，不合者二十三； 《紀元曆》合者三十五，不合者十四； 《統天曆》合者三十八，不合者十一； 《大明曆》合者三十四，不合者十五； 《授時曆》合者三十九，不合者十事。
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今按獻公十五年戊寅歲正月甲寅朔旦冬至，《授時曆》得甲寅，《統天曆》得乙卯，後天一日； 至僖公五年丙寅歲正月辛亥朔旦冬至，《授時》、《統天》皆得辛亥，與天合； 下至昭公二十年己卯歲正月己丑朔旦冬至，《授時》、《統天》皆得戊子，並先一日，若曲變其法以從之，則獻公、僖公皆不合矣。 以此知《春秋》所書昭公冬至，乃日度失行之驗。 一也。 《大衍曆》考古冬至，謂劉宋元嘉十三年丙子歲十一月甲戌日南至，《大衍》與《皇極》、《麟德》三曆皆得癸酉，各先一日，乃日度失行，非三曆之差。 今以《授時曆》考之，亦得癸酉。 二也。 大明五年辛丑歲十一月乙酉冬至，諸曆皆得甲申，殆亦日度之差。 三也。 陳太建四年壬辰歲十一月丁卯景長，《大衍》、《授時》皆得丙寅，是先一日； 太建九年丁酉歲十一月壬辰景長，《大衍》、《授時》皆得癸巳，是後一日； 一失之先，一失之後，若合於壬辰，則差於丁酉，合於丁酉，則差於壬辰，亦日度失行之驗。 五也。 開皇十一年辛亥歲十一月丙午景長，《大衍》、《統天》、《授時》皆得丙午，與天合； 至開皇十四年甲寅歲十一月辛酉冬至，而《大衍》、《統天》、《授時》皆得壬戌，若合於辛亥，則失於甲寅，合於甲寅，則失於辛亥，其開皇十四年甲寅歲冬至，亦日度失行。 六也。 唐貞觀十八年甲辰歲十一月乙酉景長，諸曆得甲申，貞觀二十三年己酉歲十一月辛亥景長，諸曆皆得庚戌，《大衍曆議》以永淳、開元冬至推之，知前二冬至乃史官依時曆以書，必非候景所得，所以不合，今以《授時曆》考之亦然。 八也。 自前宋以來，測景驗氣者凡十七事，其景德丁未歲戊辰日南至，《統天》、《授時》皆得丁卯，是先一日； 嘉泰癸亥歲甲戌日南至，《統天》、《授時》皆得乙亥，是後一日； 一失之先，一失之後，若曲變其數以從景德，則其餘十六事多後天，從嘉泰，則其餘十六事多先天，亦日度失行之驗。 十也。
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100
前十事皆《授時曆》所不合，以此理推之，非不合矣，蓋類其同則知其中，辨其異則知其變。 今於冬至略其日度失行及史官依時曆書之者凡十事，則《授時曆》三十九事皆中，《統天曆》與今曆不合者僅有獻公一事，《大衍曆》推獻公冬至後天二日，《大明》後天三日，《授時曆》與天合。 下推至元庚辰冬至，《大衍》後天八十一刻，《大明》後天一十九刻，《統天曆》先天一刻，《授時曆》與天合。 以前代諸曆校之，《授時》為密，庶幾千歲之日至，可坐而致云。
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101
古今曆參校疏密
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《授時曆》與古曆相校，疏密自見，蓋上能合於數百載之前，則下可行之永久，此前人定說。 古稱善治曆者，若宋何承天，隋劉焯，唐傅仁均、僧一行之流，最為傑出。 今以其曆與至元庚辰冬至氣應相校，未有不舛戾者，而以新曆上推往古，無不吻合，則其疏密從可知已。
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宋文帝元嘉十九年壬午歲十一月乙巳日十一刻冬至，距本朝至元十七年庚辰歲，計八百三十八年。 其年十一月，氣應己未六刻冬至，《元嘉曆》推之，得辛酉，後《授時》二日，《授時》上考元嘉壬午歲冬至，得乙巳，與元嘉合。
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隋大業三年丁卯歲十一月庚午日五十二刻冬至，距至元十七年庚辰歲，計六百七十三年。 《皇極曆》推之，得庚申冬至，後《授時》一日； 《授時》上考大業丁卯歲冬至，得庚午，與《皇極》合。
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唐武德元年戊寅歲十一月戊辰日六十四刻冬至，距至元十七年庚辰歲，計六百六十二年。 《戊寅曆》推之，得庚申冬至，後《授時》一日； 《授時曆》上考武德戊寅歲，得戊辰冬至，與《戊寅曆》合。
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開元十五年丁卯歲十一月己亥日七十二刻冬至，距至元十七年庚辰歲，計五百五十三年。 《大衍曆》推之，得己未冬至，後《授時》八十一刻； 《授時曆》上考開元丁卯歲，得己亥冬至，與《大衍曆》合，先四刻。
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長慶元年辛丑歲十一月壬子日七十六刻冬至，距至元十七年庚辰歲，計四百五十九年。 《宣明曆》推之，得庚申冬至，後《授時》一日； 《授時曆》上考長慶辛丑歲，得壬子冬至，與《宣明曆》合。
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宋太平興國五年庚辰歲十一月丙午日六十三刻冬至，距至元十七年庚辰歲，計三百年。 《乾元曆》推之，得庚申冬至，後《授時》一日； 《授時曆》上考太平興國庚辰歲，得丙午冬至，與《乾元》合。
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咸平三年庚子歲十一月辛卯日五十三刻冬至，距至元十七年庚辰歲，計二百八十年。 《儀天曆》推之，得庚申冬至，後《授時》一日； 《授時》上考咸平庚子歲，得辛卯冬至，與《儀天》合。
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崇寧四年乙酉歲十一月辛丑日六十二刻冬至，距至元十七年庚辰歲，計一百七十五年。 《紀元曆》推之，得己未日冬至，後《授時》十九刻； 《授時曆》上考崇寧乙酉歲，得辛丑日冬至，與《紀元曆》合，先二刻。
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金大定十九年己亥歲十一月己巳日六十四刻冬至，距至元十七年庚辰歲，計一百一年。 《大明曆》推之，得己未冬至，後《授時》一十九刻； 《授時曆》上考大定己亥歲，己巳冬至，與《大明曆》合，先九刻。 〈 （《大明》冬至蓋測驗未密故也。）〉
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慶元四年戊午歲十一月己酉日一十七刻冬至，距至元十七年庚辰歲，計八十二年。 《統天曆》推之，得己未冬至，先《授時》一刻； 《授時曆》上考慶元戊午歲，得己酉日冬至，與《統天曆》合。
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周天列宿度
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列宿著於天，為舍二十有八，為度三百六十五有奇。 非日躔無以校其度，非列舍無以紀其度，周天之度，因二者以得之。 天體渾圓，當二極南北之中，絡以赤道，日月五星之行，常出入於比。 天左旋，日月五星溯而右轉，昔人曆象日月星辰，謂此也。 然列舍相距度數，歷代所測不同，非微有動移，則前人所測或有未密。 古用窺管，今新制渾儀，測用二線，所測度數分秒與前代不同者，今列於左。
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〈 （表略）〉 日躔
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日之麗天，縣象最著，大明一生，列宿俱熄。 古人欲測躔度所在，必以昏旦夜半中星衡考其所距，從考其所當； 然昏旦夜半時刻未易得真，時刻一差，則所距、所當，不容無舛。 晉姜岌首以月食沖檢，知日度所在； 《紀元曆》復以太白誌其相距遠近，於昏後明前驗定星度，因得日躔。 今用至元丁丑四月癸酉望月食既，推求得冬至日躔赤道箕宿十度，黃道九度有奇。 仍自其年正月至己卯歲終，三年之間，日測太陰所離宿次及歲星、太白相距度，定驗參考，共得一百三十四事，皆躔箕宿，適與月食所沖允合。 以金趙知微所修《大明曆法》推之，冬至猶躔鬥初度三十六分六十四秒，比新測實差七十六分六十四秒。
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日行盈縮
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日月之行，有冬有夏，言日月行度，冬夏各不同也。 人徒知日行一度，一歲一周天，曾不知盈縮損益，四序有不同者。 北齊張子信積候合蝕加時，覺日行有入氣差，然損益未得其正。 趙道嚴復準晷景長短，定日行進退，更造盈縮以求虧食。 至劉焯立躔度，與四序升降，雖損益不同，後代祖述用之。
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夫陰陽往來，馴積而變，冬至日行一度強，出赤道二十四度弱，自此日軌漸北，積八十八日九十一分，當春分前三日，交在赤道，實行九十一度三十一分而適平。 自後其盈日損，復行九十三日七十一分，當夏至之日，入赤道內二十四度弱，實行九十一度三十一分，日行一度弱，向之盈分盡損而無余。 自此日軌漸南，積九十三日七十一分，當秋分後三日，交在赤道，實行九十一度三十一分而復平。 自後其縮日損，行八十八日九十一分，出赤道外二十四度弱，實行九十一度三十一分，復當冬至，向之縮分盡損而無余。 盈縮均有損益，初為益，末為損。 自冬至以及春分，春分以及夏至，日躔自北陸轉而西，西而南，於盈為益，益極而損，損至於無余而縮。 自夏至以及秋分，秋分以及冬至，日躔自南陸轉而東，東而北，於縮為益，益極而損，損至於無余而復盈。 盈初縮末，俱八十八日九十一分而行一象； 縮初盈末，俱九十三日七十一分而行一象； 盈縮極差，皆二度四十分。 由實測晷景而得，仍以算術推考，與所測允合。
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月行遲疾
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古曆謂月平行十三度十九分度之七。 漢耿壽昌以為日月行至牽牛、東井，日過度，月行十五度，至婁、角，始平行，赤道使然。 賈逵以為今合朔、弦、望、月食加時，所以不中者，蓋不知月行遲疾意。 李梵、蘇統皆以月行當有遲疾，不必在牽牛、東井、婁、角之間，乃由行道有遠近出入所生。 劉洪作《乾象曆》，精思二十餘年，始悟其理，列為差率，以囿進退損益之數。 後之作曆者，咸因之。 至唐一行，考九道委蛇曲折之數，得月行疾徐之理。
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先儒謂月與五星，皆近日而疾，遠日而遲。 曆家立法，以入轉一周之日，為遲疾二曆，各立初末二限，初為益，末為損。 在疾初遲末，其行度率過於平行； 遲初疾末，率不及於平行。 自入轉初日行十四度半強，從是漸殺，曆七日，適及平行度，謂之疾初限，其積度比平行余五度四十二分。 自是其疾日損，又曆七日，行十二度微強，向之益者盡損而無余，謂之疾末限。 自是復行遲度，又曆七日，適及平行度，謂之遲初限，其積度比平行不及五度四十二分。 自此其遲日損，行度漸增，又曆七日，復行十四度半強，向之益者亦損而無余，謂之遲末限。 入轉一周，實二十七日五十五刻四十六分，遲疾極差皆五度四十二分。 舊曆日為一限，皆用二十八限。 今定驗得轉分進退時各不同，今分日為十二，共三百三十六限，半之為半周限，析而四之為象限。
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白道交周
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當二極南北之中，橫絡天體以紀宿度者，赤道也。 出入赤道，為日行之軌者，黃道也。 所謂白道，與黃道交貫，月行之所由也。 古人隨方立名，分為八行，與黃道而九，究而言之，其實一也。 惟其隨交遷徙，變動不居，故強以方色名之。
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月道出入日道，兩相交值，當朔則日為月所掩，當望則月為日所沖，故皆有食。 然涉交有遠近，食分有深淺，皆可以數推之。 所謂交周者，月道出入日道一周之日也。 日道距赤道之遠，為度二十有四。 月道出入日道，不逾六度； 其距赤道也，遠不過三十度，近不下十八度。 出黃道外為陽，入黃道內為陰，陰陽一周，分為四象。 月當黃道為正交，出黃道外六度為半交，復當黃道為中交，入黃道內六度為半交，是為四象。 象別七日，各行九十一度，四象周曆，是謂一交之終，以日計之，得二十七日二十一刻二十二分二十四秒。 每一交，退天一度二百分度之九十三，凡二百四十九交，退天一周有奇，終而復始。 正交在春正，半交出黃道外六度，在赤道內十八度。 正交在秋正，半交出黃道外六度，在赤道外三十度。 中交在春正，半交入黃道內六度，在赤道內三十度。 中交在秋正，半交入黃道內六度，在赤道外十八度。 月道與赤道正交，距春秋二正黃赤道正交宿度，東西不及十四度三分度之二。 夏至在陰曆內，冬至在陽曆外，月道與赤道所差者多； 夏至在陽曆外，冬至在陰曆內，月道與赤道所差者少。 蓋白道二交，有斜有直，陰陽二曆，有內有外，直者密而狹，斜者疏而闊，其差亦從而異。 今立象置法求之，差數多者不過三度五十分，少者不下一度三十分，是為月道與赤道多少之差。
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晝夜刻
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日出為晝，日入為夜，晝夜一周，共為百刻。 以十二辰分之，每辰得八刻三分刻之一。 無間南北，所在皆同。 晝短則夜長，夜短則晝長，此自然之理也。 春秋二分，日當赤道出入，晝夜正等，各五十刻。 自春分以及夏至，日入赤道內，去極浸近，夜短而晝長。 自秋分以及冬至，日出赤道外，去極浸遠，晝短而夜長。 以地中揆之，長不過六十刻，短不過四十刻。 地中以南，夏至去日出入之所為遠，其長有不及六十刻者； 冬至去日出入之所為近，其短有不止四十刻者。 地中以北，夏至去日出入之所為近，其長有不止六十刻者； 冬至去日出入之所為遠，其短有不及四十刻者。 今京師冬至日出辰初二刻，日入申正二刻，故晝刻三十八，夜刻六十二； 夏至日出寅正二刻，日入戌初二刻，故晝刻六十二，夜刻三十八。 蓋地有南北，極有高下，日出入有早晏，所以不同耳。 今《授時曆》晝夜刻，一以京師為正，其各所實測北極高下，具見《天文志》。
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